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在△ABC中,AB=AC,点D在直线BC上(不与点B,C重合).(1)线段AD绕点A按逆时针方向旋转,且起始位置AD和终止位置AE所成的∠DAE=∠BAC,连接DE、CE,探索∠BCF与∠BAC的数量关系,并加以证明
题目详情
在△ABC中,AB=AC,点D在直线BC上(不与点B,C重合).
(1)线段AD绕点A按逆时针方向旋转,且起始位置AD和终止位置AE所成的∠DAE=∠BAC,连接DE、CE,探索∠BCF与∠BAC的数量关系,并加以证明;
(2)若线段AD绕点A按顺时针反向旋转,且起始位置AD和终止位置AE所成的角∠DAE=∠BAC,连接DE、BE,探索∠EBC与∠BAC的数量关系,并且加以证明.
(1)线段AD绕点A按逆时针方向旋转,且起始位置AD和终止位置AE所成的∠DAE=∠BAC,连接DE、CE,探索∠BCF与∠BAC的数量关系,并加以证明;
(2)若线段AD绕点A按顺时针反向旋转,且起始位置AD和终止位置AE所成的角∠DAE=∠BAC,连接DE、BE,探索∠EBC与∠BAC的数量关系,并且加以证明.
▼优质解答
答案和解析
(1)∠BCE与∠BAC相等或互补.理由如下:
当点D在线段BC上,如图1(a),

∵线段AD绕点A按逆时针方向旋转得到AE,
∴AD=AE,
∵∠DAE=∠BAC,
∴∠BAD=∠CAE,
在△ABD和△ACE中
,
∴△ABD≌△ACE(sas),
∴∠ABC=∠ACE,
∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=∠BCA+∠ABC,
而∠BAC+∠BCA+∠ABC=180°
∴∠BCE+∠ABC=180°;
当点D在BC的延长线上,如图1(b),

同样可证明△ABD≌△ACE,得到∠ABD=∠ACE,
同样得到∠BCE+∠ABC=180°;
当点D在CB的延长线上,如图1(c),

同样可证明△ABD≌△ACE,得到∠ABD=∠ACE,
∵∠ABD=∠BAC+∠ACB,∠ACE=∠ACB+∠BCE,
∴∠BCE=∠BAC;
综上所述,∠BCE与∠BAC相等或互补;
(2)∠EBC与∠BAC相等或互补.理由如下:
当点D在线段BC上,如图2(a),

∵∠DAE=∠BAC,
∴∠CAD=∠BAE,
在△ACD和△ABE中,
,
∴△ACD≌△ABE(SAS),
∴∠ACD=∠ABE,
∵∠EBC=∠ABE+∠ABC,
∴∠EBC=∠ABC+∠ACB,
而∠BAC+∠BCA+∠ABC=180°
∴∠EBC+∠BAC=180°;
当点D在BC的延长线上,如图2(b),

同样可证明△ABE≌△ACD,得到∠ABE=∠ACD,
∵∠ABE=∠ABC+∠EBC,∠ACD=∠ABC+∠BAC,
∴∠EBC=∠BAC;
当点D在CB的延长线上,如图2(c),

同样可证明△ABE≌△ACD,得到∠ABE=∠ACD,
∵∠EBC=∠ABE+∠ABC,
∴∠EBC=∠ABC+∠ACB,
而∠BAC+∠BCA+∠ABC=180°
∴∠EBC+∠BAC=180°.
综上所述,∠EBC与∠BAC相等或互补.
当点D在线段BC上,如图1(a),

∵线段AD绕点A按逆时针方向旋转得到AE,
∴AD=AE,
∵∠DAE=∠BAC,
∴∠BAD=∠CAE,
在△ABD和△ACE中
|
∴△ABD≌△ACE(sas),
∴∠ABC=∠ACE,
∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=∠BCA+∠ABC,
而∠BAC+∠BCA+∠ABC=180°
∴∠BCE+∠ABC=180°;
当点D在BC的延长线上,如图1(b),

同样可证明△ABD≌△ACE,得到∠ABD=∠ACE,
同样得到∠BCE+∠ABC=180°;
当点D在CB的延长线上,如图1(c),

同样可证明△ABD≌△ACE,得到∠ABD=∠ACE,
∵∠ABD=∠BAC+∠ACB,∠ACE=∠ACB+∠BCE,
∴∠BCE=∠BAC;
综上所述,∠BCE与∠BAC相等或互补;
(2)∠EBC与∠BAC相等或互补.理由如下:
当点D在线段BC上,如图2(a),

∵∠DAE=∠BAC,
∴∠CAD=∠BAE,
在△ACD和△ABE中,
|
∴△ACD≌△ABE(SAS),
∴∠ACD=∠ABE,
∵∠EBC=∠ABE+∠ABC,
∴∠EBC=∠ABC+∠ACB,
而∠BAC+∠BCA+∠ABC=180°
∴∠EBC+∠BAC=180°;
当点D在BC的延长线上,如图2(b),

同样可证明△ABE≌△ACD,得到∠ABE=∠ACD,
∵∠ABE=∠ABC+∠EBC,∠ACD=∠ABC+∠BAC,
∴∠EBC=∠BAC;
当点D在CB的延长线上,如图2(c),

同样可证明△ABE≌△ACD,得到∠ABE=∠ACD,
∵∠EBC=∠ABE+∠ABC,
∴∠EBC=∠ABC+∠ACB,
而∠BAC+∠BCA+∠ABC=180°
∴∠EBC+∠BAC=180°.
综上所述,∠EBC与∠BAC相等或互补.
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