周长和面积相等的两三角形是否全等,若是,给出证明;若否,举反例证明一下``谢谢呀

Question

周长和面积相等的两三角形是否全等,若是,给出证明;若否,举反例
证明一下``谢谢呀

Answer 1

不一定全等
假设有两个三角形,三边分别是A、B、C和a、b、c
根据海伦公式,S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)],其中p是周长的一半
因为周长和面积相等
那么S=√[p(p-A)(p-B)(p-C)]=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
所以 (p-A)(p-B)(p-C)=(p-a)(p-b)(p-c)
所以 (p-A)(p-B)(A+B-p)=(p-a)(p-b)(a+b-p)
如果令 (p-A)(p-B)(A+B-p)=(p-a)(p-b)(a+b-p)=k
那么可以整理成两个分别关于A和a的一元二次方程
当给定不同的B和b的值时,A和a都有相对应的解
举例来说
有直角三角形的三边分别是6、8、10,那么面积S＝24,周长C＝24
周长的一半p＝C/2＝12
与它面积、周长相等的三角形同样的面积S＝24,p＝12
根据海伦公式
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
=√[p(p-a)(p-b)(a+b-p)]
所以 24=√[12(12-a)(12-b)(a+b-12)
所以 (a-12)(b-12)(a+b-12)=48
展开后,(b-12)a^2+(b^2-36b+288)a-12b^2+288b-1776=0
当b＝10时,a＝6 或者 a＝8
当b＝8时,a＝6 或者 a＝10
当b＝6时,a＝8 或者 a＝10
以上3种情况与原直角三角形是全等的
当b＝9时,a＝(15±√17)/2
此时三角形三边为：(15-√17)/2,9,(15+√17)/2
三角形周长C＝(15-√17)/2 + (15+√17)/2 +9=24
面积S＝√[12*(12-9)*(12-(15-√17)/2)*(12-(15+√17)/2]
=√[12*3*((9+√17)/2)*((9-√17)/2)]
=√[36*(81-17)/4]
=√(36*16)
=24
显然,与原直角三角形不全等