如何用拉格朗日乘数法求椭球面到原点最大距离,我怎么求不出来呢

Question

如何用拉格朗日乘数法求椭球面到原点最大距离,我怎么求不出来呢

Answer 1

即求f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2在约束g(x,y,z)=x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2－1＝0下的最大值,不妨设a>b>c>0.
令F＝f+dg,其中d是乘子,则
aF/ax=2x+2dx/a^2=0,aF/ay=2y+2dy/b^2=0,aF/az=2z+2dz/c^2=0,
即x(1+d/a^2)=0,y(1+d/b^2)=0,z(1+d/c^2)=0,因此
解为d＝－a^2,y＝0,z＝0,x＝a或－a；
d＝－b^2,x＝0,z＝0,y＝b或－b；
d＝－c^2,x＝0,y＝0,z＝c或－c；
函数值分别为a^2,b^2,c^2,因此最大值是a^2,距离的最大值为a.