如图所示，金属杆a在离地h高处从静止开始沿弧形轨道下滑，导轨平行的水平部分有竖直向上的匀强磁场B，水平部分导轨上原来放有一根金属杆b，已知杆a的质量为m，b杆的质量为34m水平导轨

Question

如图所示，金属杆a在离地h高处从静止开始沿弧形轨道下滑，导轨平行的水平部分有竖直向上的匀强磁场B，水平部分导轨上原来放有一根金属杆b，已知杆a的质量为m，b杆的质量为(3)/(4)m水平导轨足够长，不计摩擦，求：
（1）a和b的最终速度分别是多大？
（2）整个过程中回路释放的电能是多少？
（3）若已知a、b杆的电阻之比R_a：R_b=3：4，其余电阻不计，整个过程中，a、b上产生的热量分别是多少？

Answer 1

（1）a下滑h过程中机械能守恒：mgh＝(1)/(2)m

v

2 0

…①
a进入磁场后，回路中产生感应电流，a、b都受安培力作用，a作减速运动，b作加速运动，经一段时间，a、b速度达到相同，之后回路的磁通量不发生变化，感应电流为零，安培力为零，二者匀速运动，匀速运动的速度即为a、b的最终速度，设为v，由过程中a、b系统所受合外力为零，
动量守恒得：mv0＝(m+(3)/(4)m)v…②
由①②解得最终速度：v＝(4)/(7)√(2gh)
（2）由能量守恒知，回路中产生的电能等于a、b系统机械能的损失，所以有：
E＝mgh−(1)/(2)(m+(3)/(4)m)v2＝(3)/(7)mgh
（3）回路中产生的热量Q_a+Q_b=E，在回路中产生电能的过程中，虽然电流不恒定，但由于R_a、R_b串联，通过a、b的电流总是相等的，所以有
  (Qa)/(Qb)＝(3)/(4)，
故Qa＝(3)/(7)E＝(9)/(49)mgh，Qb＝(4)/(7)E＝(12)/(49)mgh．
答：
（1）a和b的最终速度分别是(4)/(7)√(2gh)．
（2）整个过程中回路释放的电能是(3)/(7)mgh．
（3）整个过程中，a、b上产生的热量分别是(9)/(49)mgh和(12)/(49)mgh．