双曲线3x2-y2=1上是否存在关于直线y=2x对称的两点A,若存在,试求出A,B两点的坐标,若不存在,说明理由

Question

双曲线3x2-y2=1上是否存在关于直线y=2x对称的两点A,若存在,试求出A,B两点的坐标,若不存在,说明理由

Answer 1

设A(p, q), B(u, v)存在.
3p² - q² = 1 (1)
3u² - v² = 1 (2)
AB与y = 2x垂直, 后者的斜率为2, 前者的斜率为-1/2
设AB的中点为M(m, n), 则:
m = (p + u)/2
n = (q + v)/2
M在y = 2x上,(q + v)/2 = 2*(p + u)/2 = p +u
q + v = 2(p + u) (3)
(1) - (2): 3(p² - u²)= q² - v²
3(p + u)(p - u) = (q + v)(q - v)
AB的斜率为(q - v)/(p - u)= 3(p + u)/(q + v) = 3(p + u)/[2(p +u)] = 3/2
这与其斜率为-1/2相矛盾, A, B不存在.