（2013•宝山区二模）如图所示，扇形AOB，圆心角AOB的大小等于π3，半径为2，在半径OA上有一动点C，过点C作平行于OB的直线交弧AB于点P．（1）若C是半径OA的中点，求线段PC的大小；（2）设∠C

Question

（2013•宝山区二模）如图所示，扇形AOB，圆心角AOB的大小等于(π)/(3)，半径为2，在半径OA上有一动点C，过点C作平行于OB的直线交弧AB于点P．
（1）若C是半径OA的中点，求线段PC的大小；
（2）设∠COP=θ，求△POC面积的最大值及此时θ的值．

Answer 1

（1）在△POC中，∠OCP＝(2π)/(3)，OP=2，OC=1，
由OP2＝OC2+PC2−2OC•PCcos(2π)/(3)
得PC²+PC-3=0，解得PC＝(−1+√(13))/(2)．
（2）解法一：∵CP∥OB，∴∠CPO＝∠POB＝(π)/(3)−θ，
在△POC中，由正弦定理得(OP)/(sin∠PCO)＝(CP)/(sinθ)，
即(2)/(sin(2π)/(3))＝(CP)/(sinθ)，∴CP＝(4)/(√(3))sinθ．
又(OC)/(sin((π)/(3)−θ))＝(CP)/(sin(2π)/(3))，∴OC＝(4)/(√(3))sin((π)/(3)−θ)．
记△POC的面积为S（θ），则S(θ)＝(1)/(2)CP•OCsin(2π)/(3)=(1)/(2)•(4)/(√(3))sinθ•(4)/(√(3))sin((π)/(3)−θ)×(√(3))/(2)
=(4)/(√(3))sinθ•sin((π)/(3)−θ)=(4)/(√(3))sinθ((√(3))/(2)cosθ−(1)/(2)sinθ)=2sinθcosθ−(2)/(√(3))sin2θ
=sin2θ+(√(3))/(3)cos2θ−(√(3))/(3)=(2√(3))/(3)(sin2θ+(π)/(6))−(√(3))/(3)，
∴θ＝(π)/(6)时，S（θ）取得最大值为(√(3))/(3)．
解法二：cos(2π)/(3)＝(OC2+PC2−4)/(2OC•PC)＝−(1)/(2)，即OC²+PC²+OC•PC=4．
又OC²+PC²+OC•PC≥3OC•PC，即3OC•PC≤4，当且仅当OC=PC时等号成立，
所以S＝(1)/(2)CP•OCsin(2π)/(3)≤(1)/(2)×(4)/(3)×(√(3))/(2)＝(√(3))/(3)，∵OC=PC，
∴θ＝(π)/(6)时，S（θ）取得最大值为(√(3))/(3)．