已知等比数列{an}的首项为43，公比为-13，其前n项和记为S，又设Bn={12，34，58，…，2n−12n}（n∈N*，n≥2），Bn的所有非空子集中的最小元素的和为T，则S+2T≥2014的最小正整数为．

Question

已知等比数列{a_n}的首项为(4)/(3)，公比为-(1)/(3)，其前n项和记为S，又设B_n={(1)/(2)，(3)/(4)，(5)/(8)，…，(2n−1)/(2n)}（n∈N^*，n≥2），B_n的所有非空子集中的最小元素的和为T，则S+2T≥2014的最小正整数为______．

Answer 1

∵等比数列{a_n}的首项为(4)/(3)，公比为-(1)/(3)，其前n项和记为S，
∴S=1-(−(1)/(3))n，
当n=2时，B_n的所有非空子集为：{(1)/(2)，(3)/(4)}，{(1)/(2)}，{(3)/(4)}，∴S=(1)/(2)×2+(3)/(4)=(7)/(4)；
当n=3时，∴S=(1)/(2)×4+(3)/(4)×2+(5)/(8)=4；
当n≥4时，当最小值为(2n−1)/(2n)时，每个元素都有有或无两种情况，共有n-1个元素，共有2^n-1-1个非空子集，
S₁=(2n−1)/(2)；当最小值为(2n−3)/(2n−1)，不含(2n−1)/(2n)，含(2n−3)/(2n−1)，共n-2个元素，有2^n-2个非空子集，S2＝(2n−3)/(2)，…
∴T=S₁+S₂+S₃+…+S_n=(2n−1)/(2)+(2n−3)/(2)+…+(7)/(2)+2+(5)/(4)+(3)/(4)=(n2−1)/(2)
∵S+2T≥2014，
∴1-(−(1)/(3))n+n²-1≥2014
∴n≥45．
故答案为：45．