计算行列式,第一行abbb第二行cabb第三行ccab第四行ccca,

Question

计算行列式,第一行abbb第二行cabb第三行ccab第四行ccca,

Answer 1

c+(a-c) b b b
c+ 0 a b b
c+ 0 c a b
c+ 0 c c a
= 按第1列分拆为两个行列式的和 H1+H2
其中
H1=
c b b b
c a b b
c c a b
c c c a
第1列提出c,第1列乘 -b 加到2,3,4列
= c(a-b)^3
H2=
a-c b b b
0 a b b
0 c a b
0 c c a
按第1列展开
= (a-c)D3.
所以 D4=c(a-b)^3+(a-c)D3
因为行列式的转置行列式等于行列式
所以 D4=b(a-c)^3+(a-b)D3
两式消去D3得
(b-c)D4 = b(a-c)^4 - c(a-b)^4
所以当b≠c时有
D4 = [b(a-c)^4 - c(a-b)^4]/(b-c).
当b=c时,直接可得 D4 = (a+3b)(a-b)^3.