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A是mxn,B是nxp,C是pxs矩阵,A的秩是n,C的秩是p,证明ABC=0,必有B=0
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A是mxn,B是nxp,C是pxs矩阵,A的秩是n,C的秩是p,证明ABC=0,必有B=0
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答案和解析
若BC不等于0,则存在非零向量x1、y1,有BCx1=y1
那么Ay1=ABCx1=0x1=0考虑到r(A)=n,则Ay=0只有零解,矛盾.故BC=0
若B不等于0,则存在非零向量x2、y2,有x2B=y2
那么y2C=x2BC=x20=0,考虑到r(C)=p,则yC=0只有零解,矛盾,故B=0
那么Ay1=ABCx1=0x1=0考虑到r(A)=n,则Ay=0只有零解,矛盾.故BC=0
若B不等于0,则存在非零向量x2、y2,有x2B=y2
那么y2C=x2BC=x20=0,考虑到r(C)=p,则yC=0只有零解,矛盾,故B=0
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