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请教一个关于秩为1时一个定理的证明.当r(A)=1时,请问为什么|λE-A|=λ^n-∑aiiλ^(n-1)?
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请教一个关于秩为1时一个定理的证明.
当r(A)=1时,请问为什么|λE-A|=λ^n-∑aiiλ^(n-1)?
当r(A)=1时,请问为什么|λE-A|=λ^n-∑aiiλ^(n-1)?
▼优质解答
答案和解析
证明:设A的特征值λ1、λ2……λn,
r(A)=1,故不妨设λ1≠0,其余为0.
又有|λE-A|==(λ-λ1)(λ-λ2)...(λ-λn) =(λ-λ1)λ^(n-1)=λ^n-λ1λ^(n-1)
而∑aii是矩阵的迹 ,∑aii=∑λi=λ1;
所以|λE-A|=λ^n-∑aiiλ^(n-1)
另外:其实也可以用直接带入公式去证明,
具体公式忘了:|λE-A|=λ^n-∑aiiλ^(n-1)+∑(二阶子式的行列式)λ^(n-2)-
∑(三阶子式的行列式)λ^(n-2)+……+(-1)^(n)∑(n阶子式的行列式=|A|)
r(A)=1 => 二阶子式的行列式=三阶子式的行列式=……=n阶子式的行列式=0
故得证.
r(A)=1,故不妨设λ1≠0,其余为0.
又有|λE-A|==(λ-λ1)(λ-λ2)...(λ-λn) =(λ-λ1)λ^(n-1)=λ^n-λ1λ^(n-1)
而∑aii是矩阵的迹 ,∑aii=∑λi=λ1;
所以|λE-A|=λ^n-∑aiiλ^(n-1)
另外:其实也可以用直接带入公式去证明,
具体公式忘了:|λE-A|=λ^n-∑aiiλ^(n-1)+∑(二阶子式的行列式)λ^(n-2)-
∑(三阶子式的行列式)λ^(n-2)+……+(-1)^(n)∑(n阶子式的行列式=|A|)
r(A)=1 => 二阶子式的行列式=三阶子式的行列式=……=n阶子式的行列式=0
故得证.
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