已知两个正实数x，y满足x+y=4，则使不等式1x+4y≥m恒成立的实数m的取值范围是（）A.[94，+∞)B.[2，+∞）C.（-∞，2]D.（-∞，94]

Question

已知两个正实数x，y满足x+y=4，则使不等式(1)/(x)+(4)/(y)≥m恒成立的实数m的取值范围是（　　）
A. [(9)/(4)，+∞)
B. [2，+∞）
C. （-∞，2]
D. （-∞，(9)/(4)]

Answer 1

∵不等式(1)/(x)+(4)/(y)≥m对两个正实数x，y恒成立，即（(1)/(x)+(4)/(y)）_min≥m，
∵x+y=4，即(x)/(4)+(y)/(4)＝1，
又∵x＞0，y＞0，
∴(1)/(x)+(4)/(y)=（(1)/(x)+(4)/(y)）（(x)/(4)+(y)/(4)）=(y)/(4x)+(x)/(y)+(5)/(4)≥2√((y)/(4x)•(x)/(y))+(5)/(4)=1+(5)/(4)=(9)/(4)，
当且仅当(y)/(4x)=(x)/(y)，即x=(4)/(3)，y=(8)/(3)时取“=”，
∴（(1)/(x)+(4)/(y)）_min=(9)/(4)，
∴m≤(9)/(4)，
∴实数m的取值范围是（-∞，(9)/(4)]．
故选：D．