单墫的解析几何的书里关于复数和旋转的问题在单墫的解析几何的书里关于复数和旋转里有这样一段话：复数可以进行乘法将x+iy乘以e的iθ次幂（上标打不出）就相当于把向量{x,y}依逆时针旋

Question

单墫的解析几何的书里关于复数和旋转的问题
在单墫的解析几何的书里关于复数和旋转里有这样一段话：复数可以进行乘法将x+iy乘以e的iθ次幂（上标打不出）就相当于把向量{x,y}依逆时针旋转θ弧度
那个e的iθ次幂怎么算的?

Answer 1

e的iθ次=cosθ+isinθ 复变函数论里的欧拉公式
　　e^ix=cosx+isinx,e是自然对数的底,i是虚数单位.它将三角函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位.　　e^ix=cosx+isinx的证明：　　因为e^x=1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+…… 　　cos x=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!…… 　　sin x=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!…… 　　在e^x的展开式中把x换成±ix.　　(±i)^2=-1,(±i)^3=∓i,(±i)^4=1 …… 　　e^±ix=1±ix/1!-x^2/2!∓x^3/3!+x^4/4!…… 　　=(1-x^2/2!+……)±i(x-x^3/3!……) 　　所以e^±ix=cosx±isinx 　　将公式里的x换成-x,得到：　　e^-ix=cosx-isinx,然后采用两式相加减的方法得到：
sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i),cosx=(e^ix+e^-ix)/2.这两个也叫做欧拉公式.将e^ix=cosx+isinx中的x取作π就得到：　　e^iπ+1=0.这个恒等式也叫做欧拉公式,它是数学里最令人着迷的一个公式,它将数学里最重要的几个数字联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e,圆周率
π,两个单位：虚数单位i和自然数的单位1,以及被称为人类伟大发现之一的0.数学家们评价它是“上帝创造的公式”,我们只能看它而不能理解它.