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(2014•杨浦区三模)梯形ABCE中,AD∥BC,DC⊥BC,CE⊥AB于点E,点F在边CD上,且BE•CE=BC•CF.(1)求证:AE•CF=BE•DF;(2)若点E为AB中点,求证:AD•BC=2EC2-BC2.
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(1)求证:AE•CF=BE•DF;
(2)若点E为AB中点,求证:AD•BC=2EC2-BC2.
▼优质解答
答案和解析
证明:(1)∵CE⊥AB,
∴∠B+∠BCE=90°,
∵DC⊥BC,
∴∠DCE+∠BCE=90°,
∴∠B=∠DCE,
∵BE×CE=BC×CF,
∴
=
,
∴△BCE∽△CEF,
∴∠BCE=∠CEF,
∴EF∥BC,
∴
=
,
即AE•CF=BE•DF.
(2)∵在梯形ABCD中,EF∥BC∥AD,E为AB中点,
∴F为DC的中点,
∴EF=
(AD+BC),
∵△BCE∽△CEF,
∴
=
,即CE2=BC•EF,
∴CE2=
(AD+BC)•BC,
整理得:AD•BC=2EC2-BC2.
∴∠B+∠BCE=90°,
∵DC⊥BC,
∴∠DCE+∠BCE=90°,
∴∠B=∠DCE,
∵BE×CE=BC×CF,
∴
BE |
BC |
CF |
CE |
∴△BCE∽△CEF,
∴∠BCE=∠CEF,
∴EF∥BC,
∴
AE |
BE |
DF |
CF |
即AE•CF=BE•DF.
(2)∵在梯形ABCD中,EF∥BC∥AD,E为AB中点,
∴F为DC的中点,
∴EF=
1 |
2 |
∵△BCE∽△CEF,
∴
BC |
CE |
CE |
EF |
∴CE2=
1 |
2 |
整理得:AD•BC=2EC2-BC2.
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