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过抛物线y^2=4x的焦点的直线依次交抛物线与圆(x-1)^2+y^2=1于点A、B、C、D,其中A、D两点在抛物线上,B、C两点在圆上,求|AB|*|CD|=?(其中|AB|和|CD|均为向量的模长)
题目详情
过抛物线y^2=4x的焦点的直线依次交抛物线与圆(x-1)^2+y^2=1于点A、B、C、D,其中A、D两点在抛物线上,B、C两点在圆上,求|AB|*|CD|=?(其中|AB|和|CD|均为向量的模长)
▼优质解答
答案和解析
令抛物线y^2=4x的焦点为M(1,0)
令直线的斜率为k,得到直线方程:y=k(x-1)
将直线方程代入抛物线方程,有
[k(x-1)]^2=4x
x^2-(2+4/kk)x+1=0,于是,x1*x2=1 .①
∵ |BM|=|MC|=圆的半径=1
∴ |AB|*|CD|
=(|AM|-1)*(|MD|-1)
=[(x1+1)-1]*[(x2+1)-1]
以上是抛物线的定义:抛物线上的任意一点到定点(1,0)的距离等于到定线(x=-1)的距离,所以,|AM|=x1+1,|MD|=x2+1
∴ |AB|*|CD|=x1*x2=1
令直线的斜率为k,得到直线方程:y=k(x-1)
将直线方程代入抛物线方程,有
[k(x-1)]^2=4x
x^2-(2+4/kk)x+1=0,于是,x1*x2=1 .①
∵ |BM|=|MC|=圆的半径=1
∴ |AB|*|CD|
=(|AM|-1)*(|MD|-1)
=[(x1+1)-1]*[(x2+1)-1]
以上是抛物线的定义:抛物线上的任意一点到定点(1,0)的距离等于到定线(x=-1)的距离,所以,|AM|=x1+1,|MD|=x2+1
∴ |AB|*|CD|=x1*x2=1
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