过抛物线y^2=4x的焦点的直线依次交抛物线与圆（x-1)^2+y^2=1于点A、B、C、D,其中A、D两点在抛物线上,B、C两点在圆上,求|AB|*|CD|=?（其中|AB|和|CD|均为向量的模长）

Question

过抛物线y^2=4x的焦点的直线依次交抛物线与圆（x-1)^2+y^2=1于点A、B、C、D,其中A、D两点在抛物线上,B、C两点在圆上,求|AB|*|CD|=?（其中|AB|和|CD|均为向量的模长）

Answer 1

令抛物线y^2＝4x的焦点为M(1,0)
令直线的斜率为k,得到直线方程：y＝k(x－1)
将直线方程代入抛物线方程,有
[k(x－1)]^2＝4x
x^2－(2＋4/kk)x＋1＝0,于是,x1*x2＝1 .①
∵ |BM|＝|MC|＝圆的半径＝1
∴ |AB|*|CD|
＝(|AM|－1)*(|MD|－1)
＝[(x1＋1)－1]*[(x2＋1)－1]
以上是抛物线的定义：抛物线上的任意一点到定点(1,0)的距离等于到定线(x＝－1)的距离,所以,|AM|＝x1＋1,|MD|＝x2＋1
∴ |AB|*|CD|＝x1*x2＝1