关于极坐标的问题1.以（3,-1）为圆心,3为半径的圆,用极坐标怎么表示?半径和角度的上下限各是什么?2.若是以（3,-1,2）为球心的球,半径为3,用球面坐标来计算三重积分时,三个积分变量上下限

Question

关于极坐标的问题
1.以（3,-1）为圆心,3为半径的圆,用极坐标怎么表示?半径和角度的上下限各是什么?
2.若是以（3,-1,2）为球心的球,半径为3 ,用球面坐标来计算三重积分时,三个积分变量上下限各是多少?

Answer 1

1
设圆心为O',OO'与圆交于B,C,由极坐标定义知,设圆上一点A,则ρ是A与原点O的距离,θ是AO与x正半轴的夹角,
圆的直角坐标系方程是(x-3)^2+(y+1)^2=9,在极坐标中x=ρcosθ,y=ρsinθ,
代入直角坐标系方程ρ^2-6ρcosθ+2ρsinθ+1=0
从直角坐标系可看出ρ的最大值最小值(即上下限)分别是OB与OC,为(√10)+3和(√10)-3,
θ的最大值最小值(即上下限)分别是过原点的圆的两条切线所对应的角度,设切点是D,E,则两角度是arctan3-arctan(1/3){注释∠O'OD-∠XOO'}和-π/2,由tan的两角差公式可得θ的最大值最小值(即上下限)是arctan(4/3)和-π/2
2
设球心是O',设球面一点P,ρ=OP,φ是OP与Z正半轴的夹角,θ是OP在XY平面的投影与X正半轴的夹角,OO'与球相交于A,B;
立体图形的三重积分就是它本身的体积,由于不知道你算积分的应用背景,我给出你下列两种回答:
①
如果就是求体积,则可以把球心平移到坐标原点,则从图形可看出,此时ρ∈(0,3),φ∈(0,π),θ∈(0,2π)
②
如果你还有其他应用,不可以移动原点,则做法与第一题类似,是这样的:
ρ的最大值最小值(即上下限)是OA和OB,为OO'-R和OO'+R,为(√14)-3和(√14)+3,
过OO'做一与XY平面垂直的平面,此平面与球交于圆1,φ的最大值最小值(即上下限)是过O的圆1的两条切线所对应的φ是arctan(2/√10)+arctan(3/√5)和arctan(2/√10)-arctan(3/√5),
设球在XY平面的投影是圆2,则θ的最大值最小值(即上下限)分别是过原点的圆2的两条切线所对应的角度,与第一问中答案一样,即arctan(4/3)和-π/2