如图，两根相距L=0.8m，电阻不计的平行光滑金属导轨水平放置，一端与阻值R=0.3Ω的电阻相连，导轨x>0一侧存在沿x方向均匀增大的稳恒磁场，其方向与导轨平面垂直，变化率k=0.5T/m，x=0处磁场

Question

如图，两根相距L=0.8m，电阻不计的平行光滑金属导轨水平放置，一端与阻值R=0.3Ω的电阻相连，导轨x>0一侧存在沿x方向均匀增大的稳恒磁场，其方向与导轨平面垂直，变化率k=0.5T/m，x=0处磁场的磁感应强度B₀=0.5T．一根质量m=0.2kg、电阻r=0.1Ω的金属棒置于导轨上，并与导轨垂直，棒在外力作用下从x=0处以初速度v₀=8m/s沿导轨向右运动，运动过程中电阻消耗的功率不变．求

（1）金属棒在x=3m处的速度
（2）金属棒在x=0运动到x=3m过程中安培力做功的大小
（3）金属棒从x=0运动到x=3m过程中所用时间．

Answer 1

（1）在x=0处，金属棒切割产生感应电动势为：E₀=B₀Lv₀=0.5×0.8×8=3.2V，
由闭合电路欧姆定律，电路中的电流为：I=(E0)/(R+r)=(3.2)/(0.3+0.1)A=8A
由题意可知，在x=3m处，B=B₀+kx=0.5+0.5×3=2T，切割产生感应电动势，E=BLv，金属棒运动过程中电阻消耗的功率不变，则金属棒产生的感应电动势不变，电路电流不变，金属棒在x=3m处的速度：v=(E0)/(BL)=(3.2)/(2×0.8)=2m/s；
（2）当x=0m时有：
安培力大小为 F₀=B₀IL=0.5×8×0.8=3.2N，
x=3m时，有：F=BIL=2×8×0.8=12.8N
根据F=BIL知，I、L不变，B均匀增大，安培力F均匀增大，所以金属棒从x=0运动到x=3m过程中安培力做功的大小，有：W=(F0+F)/(2)x=(3.2+12.8)/(2)×3J=24J；
（3）克服安培力做功转化为内能，有：W=E₀It，解得：t=(W)/(E0I)=(24)/(3.2×8)s=0.9375s．
答：
（1）金属棒在x=3m处的速度为2m/s．
（2）金属棒在x=0运动到x=3m过程中安培力做功的大小为24J．
（3）金属棒从x=0运动到x=3m过程中所用时间为0.9375s．