杯中的水绕竖直中心轴匀速转动，不计水的粘滞阻力，试论证旋转液面稳定时是抛物面．

Question

杯中的水绕竖直中心轴匀速转动，不计水的粘滞阻力，试论证旋转液面稳定时是抛物面．

Answer 1

如图所示，以水面中心为原点，旋转轴为y轴建立直角坐标系．
在液面上任取一点P（x，y），在P点下方沿x轴方向取一段底面积为S的极小液柱，液柱长为x，设液体的密度为ρ，则当液体旋转的角速度为ω时，对液柱，根据向心力公式有：
ρxS•(x)/(2)ω²=ρgy•S
所以有：y=(ω2)/(2g)•x2
这里ω、g都定值，所以液面是一抛物面．
答：旋转液面稳定时是抛物面，证明如上．