求证下面这道线代题A是一个n*n的矩阵,假设c1是A的特征值x是对应的特征向量,c2是A的转置矩阵A'的特征值y是其对应的特征向量,求证若c1≠c2,x点乘y＝0

Question

求证下面这道线代题
A 是一个n*n的矩阵,假设c1 是A 的特征值 x 是对应的特征向量,c2是A的转置矩阵A'的特征值 y是其对应的特征向量,求证若c1≠c2,x点乘y＝0

Answer 1

证明Ax=c1x(1)
A'Y=C2Y(2)
(2)两边同时转置
y'A=c2y'
再同时右×x
y'AX=c2y'X
y'c1x=c2y'x
(c1-c2)y'x=0
c1≠c2
所以y'x=0.即内积 （x,y)=0.