辐角主值和辐角有什么区别为什么说任意一个不为零的复数z=a+bi的辐角有无限多个值,但又说辐角的主值是唯一的???

Question

辐角主值和辐角有什么区别
为什么说任意一个不为零的复数z=a+bi的辐角有无限多个值,但又说辐角的主值是唯一的???

Answer 1

在复变函数中,自变量z可以写成 z= r*(cosθ + i sinθ) .是z的模,即：r = |z|; θ是z的辐角.在0到2π间的辐角成为辐角主值,记作：arg(z) 在对数函数中,w=㏑｜z｜+i*arg z=㏑｜z｜+i*(arg z+z*k*pi) (pi为圆周率） 对数函数的指数函数e^w的反函数,设z=e^w,w=u+iv,z=r*e^(i*Θ),则e^(u+iv)=r*e^(i*Θ) =>r=e^u,v=Θ+2*k*pi=>u=In r=In｜z｜,v=arg z..所以“负数无对数”的说法在复变函数中是不成立的.In （-1）=In ｜-1｜+i*arg (-1)=i*pi