某人花费12.8万元从出租车公司购买了一辆出租车用于运营服务，每年应缴给出租车公司各项管理费用4万元；应缴汽车保养维修等费用第一年为0.4万元，从第二年开始每年比上一年多0.4万元

Question

某人花费12.8万元从出租车公司购买了一辆出租车用于运营服务，每年应缴给出租车公司各项管理费用4万元；应缴汽车保养维修等费用第一年为0.4万元，从第二年开始每年比上一年多0.4万元，从第二年开始每年比上一年多0.4万元，若每年运营收入为11万元，记出租车使用n（n≤10，n∈N^*）年的累计盈利为P（n）（累计盈利=累计收入-累计管理费-累计保养维修-车辆购置费）
（1）问该出租车投入运营后，第几年开始盈利（累计盈利额为正值）？
（2）问该出租车使用几年更换新车最合算（该出租车每年平均盈利最多）？

Answer 1

（1）依题意，应缴汽车保养维修等费用是以0.4为首项、0.4为公差的等差数列，
∴使用n年应缴汽车保养维修等费用为(n(0.4+0.4n))/(2)万元，
∴P（n）=11n-4n-(n(0.4+0.4n))/(2)-12.8
=-0.2n²+6.8n-12.8
=-0.2（n-17）²+45（n≤10，n∈N^*），
由P（n）>0，可知：2<n<32，
∴该出租车投入运营后，第3年开始盈利；
（2）由（1）可知，该出租车年平均赢利为：
(P(n))/(n)=6.8-0.2（n+(64)/(n)）≤6.8-0.2•2√(n•(64)/(n))=36，
当且仅当n=(64)/(n)即n=8时取等号，
∴该出租车使用8年更换新车最合算．