一道证明题!已知;X+Y+Z=1/X+1/Y+1/Z=1求证:X.Y.Z至少有一个为1.注:它的等价命题为什么是(X-1)(Y-1)(Z-1)=0可能是我太蠢了一定要说得通俗易懂,小弟理解能力较差

Question

一道证明题!
已知; X+Y+Z=1/X +1/Y + 1/Z= 1 求证:X.Y.Z至少有一个为1.
注:它的等价命题为什么是(X-1)(Y-1)(Z-1)=0
可能是我太蠢了
一定要说得通俗易懂,小弟理解能力较差

Answer 1

x+y+z=1------->x+y=1-z
1/X +1/Y + 1/Z= 1----->1/x+1/y=1-1/z
----->(x+y)/xy=(z-1)/z
------>(1-z)/xy+(1-z)/z=0
------->(1-z)(1/xy+1/z)=0
------>(1-z)(z+xy)/xyz=0
----->(1-z)((1-(x+y))+xy)/xyz=0
----->(1-z)(xy-x+1-y)/xyz=0
----->(1-z)(x(y-1)-(y-1))/xyz=0
----->(1-z)(y-1)(x-1)/xyz=0
----->(x-1)(y-1)(z-1)/xyz=0
因为:x,y,z≠0
所以:(X-1)(Y-1)(Z-1)=0