如果点P把线段AB分成两条线段AP和BP,使得PB/AP=AP/AB,为什么当AP/PB=AB/AP时就=根号5+1/2?还有黄金矩形中长和宽的比是根号5+1/2?

Question

如果点P把线段AB分成两条线段AP和BP,使得PB/AP=AP/AB,为什么当AP/PB=AB/AP时就=根号5+1/2?还有黄金矩形中长和宽的比是根号5+1/2?

Answer 1

设一条线段AB的长度为a,C点在靠近B点的黄金分割点上且AC为b
AC/AB=BC/AC
b^2=a×(a-b)
b^2=a^2-ab
a^2-ab+(1/4)b^2=(5/4)×b^2
(a-b/2)^2=(5/4)b^2
a-b/2=（√5/2）×b
a-b/2=(√5)b/2
a=b/2+(√5)b/2
a=b(√5+1）/2
a/b=(√5+1）/2