18世纪东普鲁士的隔尼斯堡城,有一条河穿过,河上有两个小岛,有七座桥把这两个小岛与河岸联系起来,有人

Question

18世纪东普鲁士的隔尼斯堡城,有一条河穿过,河上有两个小岛,有七座桥把这两个小岛与河岸联系起来,有人

Answer 1

哥尼斯堡七桥问题传开了.1735年,瑞士的大数学家欧拉在俄国彼得堡听到了这个问题,并引起极大的兴趣.欧拉没有去过哥尼斯堡,他也没有去亲自测试可能的路线.他知道,如果沿着所有可能的路线都走一次的话,一共要走5040次,就算是一天走一次,也需要13年多的时间.实际上,欧拉只用了半天时间就解决了七桥问题.
　　剖析一下欧拉的解法是饶有趣味的.
　　首先,欧拉把七桥问题抽象成一个合适的“数学模型”.他想：两岸的陆地与河中的小岛,都是桥梁的连接点,它们的大小、形状均与问题本身无关.因此,不妨把它们看做是4个点.7座桥是7条必须经过的路线,它们的长短、曲直,也与问题本身无关.因此,不妨任意画7条线来表示它们（如图2）.
　　就这样,欧拉将七桥问题抽象成了一个“一笔画”问题.怎样不重复地通过7座桥,变成了怎样不重复地画出一个几何图形的问题.
　　原先,人们是要求找出一条不重复的路线.欧拉想,成千上万的人都失败了,这样的路线也许是根本不存在的.如果根本不存在,硬要去寻找它岂不是白费力气于是,欧拉接下来着手判断：这种不重复的路线究竟存在不存在?由于这么改变了一下提问的角度,欧拉抓住了问题的实质.
　　最后,欧拉认真考察了一笔画图形的结构特征.
　　欧拉发现,凡是能用一笔画成的图形,都有这样一个特点：每当你用笔画一条线进入中间的一个点时,你还必须画一条线离开这个点.否则,整个图形就不可能用一笔画出.也就是说,单独考察图中的任何一个点（除起点和终点外）,它都应该与偶数条线相连；如果起点与终点重合,那么,连这个点也应该与偶数条线相连.
　　在七桥问题的几何图中,B、C、D三点分别与3条线相连,A点与5条线相连.连线都是奇数条.因此,欧拉断定：一笔画出这个图形是不可能的.也就是说,不重复地通过7座桥的路线是根本不存在的
　　欧拉通过对七桥问题的研究,不仅圆满地回答了哥尼斯堡居民提出的问题,而且得到并证明了如下有关一笔画的三条结论：
　　（1）凡是由偶点组成的连通图,一定可以一笔画成.画时可以把任一偶点为起点,最后一定能以这个点为终点画完此图.
　　（2）凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点）,一定可以一笔画成.画时必须把一个奇点为起点,另一个奇点终点
　　（3）其他情况的图都不能一笔画出.
　　欧拉把它们归纳为：如果一个网络是连通的并且奇点的个数等于0或2,那么它可以一笔画出；否则,它不可以一笔画出.