在变力F=yzi+zxj+xyk的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面x2a2+y2b2+z2c2=1上第一卦限的点M（ξ，η，ζ），问当ξ、η、ζ取何值时，力F所做的功W最大？并求出W的最大值．

Question

在变力

F

=yz

i

+zx

j

+xy

k

的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面(x2)/(a2)+(y2)/(b2)+(z2)/(c2)=1上第一卦限的点M（ξ，η，ζ），问当ξ、η、ζ取何值时，力

F

所做的功W最大？并求出W的最大值．

Answer 1

直线段OM的方程为：x=ξt，y=ηt，z=ζt，t从0变到1
∴W=∫OM

F

•d

r

=∫_OMyzdx+zxdy+xydz=

∫

1 0

3ξηζt2dt=ξηζ
下面求W=ξηζ在条件椭球面(x2)/(a2)+(y2)/(b2)+(z2)/(c2)=1，ξ＞0，η＞0，ζ＞0的最大值
作拉格朗日函数
L(ξ，η，ζ)=ξηζ+λ((ξ2)/(a2)+(η2)/(b2)+(ζ2)/(c2)-1)
令

ηζ+(2λξ)/(a2)=0

ξζ+(2λη)/(b2)=0

ξη+(2λζ)/(c2)=0

解得，ξ=(a)/(√(3))，η=

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