重新申请个号再发此问,关系到我的前途啊.1.求y=x*arctanx的凹区间．2.f(x)=lnx的原函数是?3.求不定积分∫x^2/(1+3x^2)dx的值.4.求z=sin(x^2*e^y)的二阶混合偏导数.

Question

重新申请个号再发此问,关系到我的前途啊.
1.求y=x*arctanx的凹区间．
2.f(x)=lnx的原函数是?
3.求不定积分∫x^2/(1+3x^2)dx的值.
4.求z=sin(x^2*e^y)的二阶混合偏导数.

Answer 1

1:显然函数x和arctanx都是单调增函数,都过原点,当x<0时均为负,
所以x*arctanx>=0,且
x<0时,单调减；x>0时,单调增,所以
凹区间是（-无穷,+无穷）
2：对x*lnx求导得
（x*lnx)'=lnx+1
所以∫lnx.dx=x*lnx-∫dx=x*lnx-x
3:∫x^2/(1+3x^2)dx
=1/3*∫[1-1/(1+3x^2)]dx
=1/3*[∫dx-∫1/(1+3x^2)dx]
=x/3-根号3/9*arctan(根号3*x)
4:偏Z/偏x=cos(x^2*e^y)*2xe^y
偏(偏Z/偏x)/偏y
=-sin(x^2*e^y)*x^2*e^y*2xe^y + cos(x^2*e^y)*2xe^y
=2x*cos(t)*exp(y)+2x^3*sin(t)*exp(2y)
为方便写t=x^2*e^y