如图甲所示，是建筑工地将桩料打入泥土中以加固地基的打夯机示意图，打夯前先将桩料扶正立于地基上．已知夯锤的质量为M=450kg，桩料的质量为m=50kg．每次打夯都通过卷扬机牵引将夯锤提

Question

如图甲所示，是建筑工地将桩料打入泥土中以加固地基的打夯机示意图，打夯前先将桩料扶正立于地基上．已知夯锤的质量为M=450kg，桩料的质量为m=50kg．每次打夯都通过卷扬机牵引将夯锤提升到距离桩顶h₀=5m处再释放，让夯锤自由下落，夯锤砸在桩料上并不弹起，而是随桩料一起向下运动．桩料进入泥土后所受阻力随打入深度h的变化关系如图乙所示，直线斜率k=5.05×10⁴N/m．g=10m/s²，求

（1）夯锤与桩斜碰撞完毕后，随桩料一起向下运动的速度是多少？
（2）打完第一夯后，桩料进入泥土的深度．（假设打第一夯前，桩料未进入泥土）

Answer 1

（1）夯锤与桩料碰撞前瞬间的速度 v₀²=2gh₀，得 v₀=√(2gh0)=√(2×10×5)=10m/s
取向下为正方向，打击过程遵守动量守恒定律，则得
   Mv₀=（M+m）v
代入数据解得 v=9m/s
（2）由乙图知，桩料下沉过程中所受的阻力是随距离均匀变化，可用平均力求阻力做功，为 W_f=-(1)/(2)kh•h=-(1)/(2)kh2
对夯锤与桩料，由动能定理得
   （M+m）gh+W_f=0-(1)/(2)(M+m)v2
代入数据解得 h=1m
答：
（1）夯锤与桩斜碰撞完毕后，随桩料一起向下运动的速度是9m/s．
（2）打完第一夯后，桩料进入泥土的深度是1m．