（2011•奉贤区二模）如图所示，是建筑工地上常用的一种“深坑打夯机”．工作时，电动机带动两个紧压夯杆的滚轮匀速转动，可将夯杆从深为h的坑中提上来．当两个滚轮与夯杆分开时，

Question

（2011•奉贤区二模）如图所示，是建筑工地上常用的一种“深坑打夯机”．工作时，电动机带动两个紧压夯杆的滚轮匀速转动，可将夯杆从深为h的坑中提上来．当两个滚轮与夯杆分开时，夯杆被释放，最后夯杆在自身重力作用下落回深坑，夯实坑底．之后，两个滚轮再次压紧，夯杆再次被提上来，如此周而复始工作．已知两个滚轮边缘的线速度恒为5m/s，每个滚轮对夯杆的正压力F_N=2×10⁴N，滚轮与夯杆间的动摩擦因数μ=0.3，夯杆的质量m=1×10³kg，坑深h=4.8m．假定在打夯过程中坑的深度变化不大，且夯杆底端升到坑口时，速度恰好为零（不计夯杆在坑底停留的时间）．求：
（1）夯杆上升过程中被滚轮释放时，夯杆底端离坑底的高度；
（2）打夯周期；
（3）在一个打夯周期内夯杆获得的机械能．

Answer 1

（1）夯杆开始阶段做匀加速运动，加速度为：
a=(2μFN−mg)/(m)=(2×0.3×2×104−103×10)/(103)=2m/s²            
当加速到速度v时，夯杆以v向上做抛体运动，至坑口速度为零
加速上升位移：h1＝(v2)/(2a)
减速上升位移：h2＝(v2)/(2g)
h=h₁+h₂     
解得：v=4m/s，h₁=4m
故滚轮释放夯杆时，夯杆底端离坑底的高度为4m．
（2）夯杆加速上升的时间t1＝(v)/(a)＝2s
夯杆减速上升的时间t2＝(v)/(g)＝0.4s
夯杆自由落体的时间t3＝√((2h)/(g))＝√(0.96)s
总时间为：T＝t1+t2+t3＝2.4+√(0.96)s=3.4s
故打夯周期为3.4s．
（3）加速过程，滚轮对夯杆做正功，机械能增加，减速过程和自由落体运动过程只有重力做功，机械能守恒；
比较最高点和最低点得到：W=mgh=4.8×10⁴J
故杆获得的机械能为4.8×10⁴J．