如图所示，足够长的矩形区域abcd内充满磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，现从ad边的中心O点处，垂直磁场方向射入一速度为v0的带正电粒子，v0与ad边的夹角为30°．已知

Question

如图所示，足够长的矩形区域abcd内充满磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，现从ad边的中心O点处，垂直磁场方向射入一速度为v ₀ 的带正电粒子，v ₀ 与ad边的夹角为30°．已知粒子质量为m，带电量为q，ad边长为L，不计粒子的重力．
（1）若要使粒子能从ab边射出磁场，求v ₀ 的大小范围；
（2）若要求粒子在磁场中运动的时间最长，此最长时间是多少？与粒子在磁场中运行最长时间相对应的v ₀ 的大小范围是多少？

Answer 1

（1）如答图所示，当粒子的速度大于与R ₁ 相对应的速度v ₁ 时，粒子将从dc边射出．
由几何关系可得：R ₁ =L ①
由洛仑兹力和向心力公式可得： m(v12)/(R12) =q v 1 B ②
当粒子的速度小于与R ₂ 相对应的速度v ₂ 时，粒子将从ad边射出．
由几何关系可得： (L)/(2) - R 2 =(R2)/(2) ③
由③式解得： R 2 =(L)/(3) ④
由洛仑兹力和向心力公式可得： m(v22)/(R22) =q v 2 B ⑤
将①④式分别代入②⑤式可解得： v 1 =(qBL)/(m)
v 2 =(qBL)/(3m) ⑥
所以v ₀ 的取值范围是 (qBL)/(3m) ＜ v 0 ≤(qBL)/(m) ⑦
（2）粒子在磁场中运动的时间最长，其做圆周运动的圆心角必然最大，在答图中，当粒子的速度小于v ₂ 时，粒子从ad边的不同位置射出时，其半径虽不同，但圆心角的夹角都是 (5)/(6) ×2π ，所以粒子在磁场中的运动时间也是 (5T)/(6) ，此即粒子在磁场中运动的最长时间
由向心力和洛仑兹力公式可得： T=(2πm)/(qB) ⑧
所以粒子运动的最长时间为： t=(5πm)/(3qB) ⑨
与粒子在磁场中运行最长时间相对应的v ₀ 的大小范围是： 0＜ v 0 ≤(qBL)/(3m)
答：（1）若要使粒子能从ab边射出磁场，则v ₀ 的大小范围是 (qBL)/(3m) ＜ v 0 ≤(qBL)/(m) ；
（2）若要求粒子在磁场中运动的时间最长，此最长时间是： t=(5πm)/(3qB) ；与粒子在磁场中运行最长时间相对应的v ₀ 的大小范围是： 0＜ v 0 ≤(qBL)/(3m) ．