南海上有一浮桶式波浪发电灯塔，其原理示意如图甲．浮桶内的磁体通过支柱固定在暗礁上，浮桶内置线圈随周期T=3s的波浪相对磁体沿竖直方向运动，且始终处于磁场中，该线圈与阻值R=15Ω

Question

南海上有一浮桶式波浪发电灯塔，其原理示意如图甲．浮桶内的磁体通过支柱固定在暗礁上，浮桶内置线圈随周期T=3s的波浪相对磁体沿竖直方向运动，且始终处于磁场中，该线圈与阻值R=15Ω的灯泡相连．如图乙所示，浮桶下部由内、外两密封圆筒构成，其截面积S=0.2m²（图乙中斜线阴影部分），其内为产生磁场的磁体，与浮桶内侧面的缝隙忽略不计；匝数N=200的线圈所在处辐向磁场的磁感应强度B=0.2T，线圈直径D=0.4m，电阻r=1Ω．取重力加速度g=10m/s²，π²≈10．
（1）若浮桶随波浪上下运动可视为受迫振动，浮桶振动的速度可表示为v=0.4πsin（(2π)/(3)t）m/s．写出波浪发电产生电动势e的瞬时表达式；画出电流i随时间t变化的图象；
（2）已知浮力F_浮=ρgV_排，ρ=1.0×10³kg/m³，当浮桶及线圈的总质量为多大时，波浪机械能转化为电能的效率最高？（提示：忽略水的阻力，当电路断开时，浮桶及线圈可视作简谐运动，其周期T=2π√((m)/(k))，式中m为振子质量，k为回复力常数．）

Answer 1

（1）线圈在磁场中切割磁感线，产生电动势为：
E_max=NBlv_max …①
l=πD… ②
联立得：E_max=πNBDv_max =π×200×0.2×0.4×0.4πV=64V…③
则波浪发电产生电动势e的瞬时表达式：e=E_maxsin（(2π)/(3)）t=64sin（(2π)/(3)）t V…④
根据闭合电路欧姆定律有：I=(E)/(R+r)…⑤
得：i=(e)/(R+r)=4sin（(2π)/(3)）t A…⑥
画出i-t图象如图：

（2）根据题意，设浮桶及线圈的总质量为M，在水面平衡时，排开水的体积为v₀，
Mg=ρgv₀…⑧
简谐运动时，设浮桶及线圈相对平衡位置的位移是x，
 F_回=-F_浮+Mg=-ρg（v₀+Sx）+ρgv₀=-ρgSx…⑨
考虑到简谐运动的特征：F_回=-kx… ⑩
 简谐运动的周期：T=2π√((m)/(k))…（11）
综合⑨、⑩、（11）得浮桶与线圈作简谐运动的固有周期：
 T_固=2π√((M)/(ρgS))…（12）
由i=4sin（(2π)/(3)）t A得：圆频率ω=(2π)/(3)rad/s，驱动力周期 T_驱=T=(2π)/(ω)=3s…（13）
波浪机械能转化为电能的效率最高时，有 T_驱=T_固…（14）
由（12）、（13）解得：M=450kg 
答：（1）波浪发电产生电动势e的瞬时表达式为e=64sin（(2π)/(3)）t V；电流i随时间t变化的图象见上；
（2）当浮桶及线圈的总质量为450kg时，波浪机械能转化为电能的效率最高．