一个函数与一条直线有3个不同的交点求一个值的取值范围.这该怎么思考昂

Question

一个函数与一条直线有3个不同的交点求一个值的取值范围.这该怎么思考昂

Answer 1

用一个题目来讲解吧
已知函数f（x）=x3+（a-1）x2+3x+b的图象与x轴有三个不同交点,且交点的横坐标分别可作为抛物线、双曲线、椭圆的离心率,则实数a的取值范围是（-3,-2）
分析：先把函数f（x）=x3+（a-1）x2+3x+b的图象与x轴有三个不同交点转化为方程x3+（a-1）x2+3x+b=0有三个不等实根．再根据1是方程的根代入求出b和a之间的关系式；代入原方程分解因式,最后转化为x2+a（x+1）+3=0有两个根,且一个根在（0,1）上,另一根在（1,+∞）上,再借助于图象求出实数a的取值范围即可．
函数f（x）=x3+（a-1）x2+3x+b的图象与x轴有三个不同交点,即是方程x3+（a-1）x2+3x+b=0有三个不等实根．
由题得1是方程的根,故有1+（a-1）+3+b=0⇒b=-a-3⇒x3+（a-1）x2+3x+b=x3+（a-1）x2+3x-a-3=（x-1）[x2+a（x+1）+3]=0．
因为交点的横坐标分别可作为抛物线、双曲线、椭圆的离心率
故方程g（x）=x2+a（x+1）+3=0有两个根,且一个根在（0,1）上,另一根在（1,+∞）上,
由图得,
有g（0）＞0且g（1）＜0⇒a＞-3且a＜-2,
故满足要求的实数a的取值范围是（-3,-2）．
故答案为：（-3,-2）．