一道证明题,需要你的帮助,设函数f（x）在[a,b]上连续且单调增加,求证：∫（a到b）xf（x）dx≥（a+b）／2∫（a到b）f（x）dx.

Question

一道证明题,需要你的帮助,
设函数f（x）在[a,b]上连续且单调增加,求证：∫（a到b）x f（x）dx≥（a+b）／2∫（a到b）f（x）dx .

Answer 1

假设LZ已经学过二重积分（应该刚刚学过吧?）,证明过程见图片,
或者这里还有第二种方法：
对任意u∈[a,b],因为f(x)在[a,b]上单增,所以
∫（a到u）f（x）dx  ≤ ∫（a到u）f（u）dx = (u-a)f(u)  .①
令  F(u) = ∫（a到u）x f（x）dx -（a+u）／2∫（a到u）f（x）dx 
则 F'(u) = uf(u) - 1/2∫（a到u）f（x）dx - （a+u） f(u)／2
　　　　= 1/2{ (u-a)f(u) -  ∫（a到u）f（x）dx} 
　　　　≥ 0 .（因为①）
因此F(u)在[a,b]上单增,所以F(b)≥F(a) =0,从而不等式得证.