如图，将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A1B1C1的位置，AB与A1C1相交于点D，AC与A1C1、BC1分别交于点E、F．（1）求证：△BCF≌△BA1D．（2）当∠C=α度时，判定四边形A1BCE的形状并说明理

Question

如图，将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A₁B₁C₁的位置，AB与A₁C₁相交于点D，AC与A₁C₁、BC₁分别交于点E、F．

（1）求证：△BCF≌△BA₁D．
（2）当∠C=α度时，判定四边形A₁BCE的形状并说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵△ABC是等腰三角形，
∴AB=BC，∠A=∠C，
∵将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A₁B₁C₁的位置，
∴A₁B=AB=BC，∠A=∠A₁=∠C，∠A₁BD=∠CBC₁，
在△BCF与△BA₁D中，

∠A1=∠C

A1B=BC

∠A1BD=∠CBF

，
∴△BCF≌△BA₁D；

（2） 四边形A₁BCE是菱形，
∵将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A₁B₁C₁的位置，
∴∠A₁=∠A，
∵∠ADE=∠A₁DB，
∴∠AED=∠A₁BD=α，
∴∠DEC=180°-α，
∵∠C=α，
∴∠A₁=α，
∴∠ABC=360°-∠A₁-∠C-∠A₁EC=180°-α，
∴∠A₁=∠C，∠A₁BC=∠AEC，
∴四边形A₁BCE是平行四边形，
∴A₁B=BC，
∴四边形A₁BCE是菱形．