如图，把一个菱形绕着它的对角线的交点旋转90°，旋转前后的两个菱形构成一个“星形”（阴影部分），若菱形的一个内角为60°，边长为2，则该“星形”的面积是．

Question

如图，把一个菱形绕着它的对角线的交点旋转90°，旋转前后的两个菱形构成一个“星形”（阴影部分），若菱形的一个内角为60°，边长为2，则该“星形”的面积是___．

Answer 1

在图中标上字母，令AB与A′D′的交点为点E，过E作EF⊥AC于点F，如图所示．

∵四边形ABCD为菱形，AB=2，∠BAD=60°，
∴∠BAO=30°，∠AOB=90°，
∴AO=AB•cos∠BAO=√(3)，BO=AB•sin∠BAO=1．
同理可知：A′O=√(3)，D′O=1，
∴AD′=AO-D′O=√(3)-1．
∵∠A′D′O=90°-30°=60°，∠BAO=30°，
∴∠AED′=30°=∠EAD′，
∴D′E=AD′=√(3)-1．
在Rt△ED′F中，ED′=√(3)-1，∠ED′F=60°，
∴EF=ED′•sin∠ED′F=(3-√(3))/(2)．
∴S_阴影=S_菱形ABCD+4S_△AD′E=(1)/(2)×2AO×2BO+4×(1)/(2)AD′•EF=6√(3)-6．
故答案为：6√(3)-6．