设f（x）为奇函数，在（-∞，+∞）内连续且单调增加，F（x）=∫x0（x-3t）f（t）dt，证明：（1）F（x）为奇函数；（2）F（x）在[0，+∞]内单调减小．

Question

设f（x）为奇函数，在（-∞，+∞）内连续且单调增加，F（x）=

∫

x 0

（x-3t）f（t）dt，证明：
（1）F（x）为奇函数；
（2）F（x）在[0，+∞]内单调减小．

Answer 1

（1）令t=-μ，则μ=-t，
∵

∫

−x 0

(−x−3t)f(t)dt=-

∫

x 0

(−x+3μ)f(−μ)dμ
=-

∫

x 0

(x−3μ)f(μ)dμ=-F（x），
所以F（x）为奇函数．
（2）对函数求一阶导，有
F′（x）=

∫

x 0

f(t)dt−2xf(x)
=

∫

x 0

[f(t)−f(x)]dt−xf(x)．
∵x＞0时，f（0）=0，而f（x），在（-∞，+∞）内连续且单调增加
故f（x）＞0，从而F′（x）＜0．