微积分求面重心题.求由函数f(x)=5-x和g(x)=4/x围成的图形的面重心.

Question

微积分求面重心题.
求由函数f(x)=5-x和g(x)=4/x围成的图形的面重心.

Answer 1

y=5-x,y=4/x
交点为（1,4）（4,1）
由于图象关于y=x对称,所以
重心的横坐标=纵坐标
设所围部分为D,
则面重心的横坐标
x'=∫∫Dxdxdy/∫∫Ddxdy
分子=∫(1到4)xdx∫（4/x到5-x）dy
=∫(1到4)x(5-x-4/x)dx
=∫(1到4)(5x-x^2-4)dx
=(5x^2/2-x^3/3-4x)|(1到4)
=40-64/3-16-(5/2-1/3-4)
=9/2
分母=∫(1到4)dx∫（4/x到5-x）dy
=∫(1到4)(5-x-4/x)dx
=(5x-x^2/2-4lnx)|(1到4)
=20-8-4ln4-(5-1/2)=15/2-4ln4
所以
(9/2)/(15/2-4ln4)=9/(15-16ln2)
面重心为（9/(15-16ln2),9/(15-16ln2)）