某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目．经测算，该项目月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可以近似地表示为：y=13x3-80x2+5040x，x

Question

某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目．经测算，该项目月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可以近似地表示为：y=

(1)/(3)x3-80x2+5040x，x∈[120，144)

(1)/(2)x2-200x+80000，x∈[144，500)

，且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将给予补贴．
（Ⅰ）当x∈[200，300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？
（Ⅱ）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

Answer 1

（Ⅰ）当x∈[200，300）时，该项目获利为S，则
S=200x-（(1)/(2)x²-200x+80000）=-(1)/(2)（x-400）²，
∴当x∈[200，300）时，S<0，因此，该项目不会获利
当x=300时，S取得最大值-5000，所以政府每月至少需要补贴5000元才能使该项目不亏损；

（Ⅱ）由题意可知，生活垃圾每吨的平均处理成本为：
(y)/(x)=

(1)/(3)x2-80x+5040，x∈[120，144)

(1)/(2)x+(80000)/(x)-200，x∈[144，500)

．
当x∈[120，144）时，(y)/(x)=(1)/(3)（x-120）²+240
所以当x=120时，(y)/(x)取得最小值240；    
当x∈[144，500）时，(y)/(x)=(1)/(2)x+(80000)/(x)-200≥2√((1)/(2)x•(80000)/(x))-200=300
当且仅当(1)/(2)x=(80000)/(x)，即x=400时，(y)/(x)取得最小值300
因为240<300，所以当每月处理量为120吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．