在平面直角系中，已知曲线为参数，将上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的和2倍后得到曲线.以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位

Question

在平面直角系 中，已知曲线 为参数 ，将 上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的 和2倍后得到曲线 .以平面直角坐标系 的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标，已知直线 .
（1）试写出曲线 的极坐标方程与曲线 的参数方程；
（2）在曲线 上求一点P，使点到直线 的距离最小，并求此最小值.

Answer 1

（1）参考解析；（2） ，

试题分析：（1）由曲线 ： （ 为参数），写出相应的直坐标方程，在转化为极坐标方程.由 上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的 和 倍后得到曲线 .得到直角坐标方程，在转化为参数方程.
（2）将直线3 ： ，化为直角坐标方程．点 在曲线 上.用点P的参数方程的形式带入，点到直线的距离公式，通过求三角函数的最值即可得到结论.
（1）由已知得曲线 的直角坐标方程是 ，所以曲线 的极坐标方程是 ，
因为曲线 的直角坐标方程是 ，所以根据已知的伸缩变换得曲线 的直角坐标方程是 ，所以曲线 的参数方程是 （ 是参数）．    5分
（2）设 .由已知得直线3 的直角坐标方程是 ，即 .所以点P到直线3 的距离 .当 即 时． .此时点P的坐标是 .所以曲线 上的一点 到直线3 的距离最小，最小值是 .