对，不等式所表示的平面区域为，把内的整点（横坐标与纵坐标均为整数的点）按其到原点的距离从近到远排成点列：（1）求，；（2）数列满足，且时．证明当时，

Question

对 ，不等式 所表示的平面区域为 ，把 内的整点（横坐标与纵坐标均为整数的点）按其到原点的距离从近到远排成点列：
（1）求 ， ；
（2）数列 满足 ，且 时 ．证明当 时，
；
（3）在（2）的条件下，试比较 与4的大小关系．

Answer 1

对 ，不等式 所表示的平面区域为 ，把 内的整点（横坐标与纵坐标均为整数的点）按其到原点的距离从近到远排成点列：
（1）求 ， ；
（2）数列 满足 ，且 时 ．证明当 时，
；
（3）在（2）的条件下，试比较 与4的大小关系．

（1） （2）证略（3）

（1） ，又 且 ，∴    ……（2分）
故 内的整点都落在直线 上且 ，故 内的整点按其到原点的距离从近到远排成的点列为 ，∴ ．                  ……（4分）
（2）证：当 时，
由 ，得 ，
即 ……①   
∴ ……②                                   ……（6分）
②式减①式，有 ，得证．                              ……（8分）
（3）当 时， ；
当 时， ，                             
由（2）知，当 时， ，          ……（10分）
∴当 时，


∵ ，                                   ……（12分）
∴上式 ，