将七分之一拆解成两个分数单位之和,有几种拆法?

Question

将七分之一拆解成两个分数单位之和,有几种拆法?

Answer 1

7²=49
49有1,7,49共3个约数
所以将七分之一拆解成两个分数单位之和,有(3+1)/2=2种拆法
结论：将1/x（x为非零正整数）拆成两个单位分数之和,共有(n+1)/2种拆分方法,其中n为x²的约数个数.
结论的推导过程为：
设可以将1/x拆成1/a与1/b的和（a、b为自然数）.
那么 1/a+1/b=1/x
通分 (a+b)/ab=1/x
所以 ab=(a+b)x
ab-(a+b)x=0
(a-x)(b-x)-x²=0
(a-x)(b-x)=x²
(a-x)为x²的约数,设x²有n个约数,那么a-x即有n种可能,每个(a-x)均对应一个(b-x)
所以有n种方法,但由于不计顺序,除a=b=2x时,每种可能均被计算了两次,所以有(n-1)/2+1=(n+1)/2种拆分方法.