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设R为一个交换环,a是R的不可逆元.证明R有一个极大理想M而且包含a.
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设R为一个交换环,a是R的不可逆元.证明R有一个极大理想M而且包含a.
▼优质解答
答案和解析
居然还有这种题目……
令X为R中所有包含a的理想的集合,则易知X非空,且为偏序集.从而由Zorn引理,知X中存在极大元J.只需证J为极大理想即可.事实上,若否,则必有比J大的真理想M.由a亦包含于M,可知M亦属于X,从而与J为X中极大元相矛盾.于是J必为极大理想.
令X为R中所有包含a的理想的集合,则易知X非空,且为偏序集.从而由Zorn引理,知X中存在极大元J.只需证J为极大理想即可.事实上,若否,则必有比J大的真理想M.由a亦包含于M,可知M亦属于X,从而与J为X中极大元相矛盾.于是J必为极大理想.
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