求y=x^3-2x^2的凹凸区间和拐点

Question

求y=x^3-2x^2的凹凸区间和拐点

Answer 1

所谓凹凸区间,就是指函数拐点两边的单调性正好相反,或者说函数在拐点两边切线的斜率正好一边为正,一边为负.
求函数在某一点切线的斜率,相当于就是在求这一点的导数.而拐点,就必然是导数为零的点(反过来可不一定成立)
因此,对上述函数求其导函数,找到导函数为零的点,然后验证每个导函数为零点的两边是不是正好满足一边斜率为正,一边斜率为负(导函数为正或为负),如果满足,这就是个拐点,直到下一次改变斜率方向时的区间就是凹或者凸区间.
比如这个题.
导函数：y'=3x^2-4x
令y'=0,得到x=0或者x=4/3这么两个点.这两个点肯定斜率为零,至于是不是拐点,那得验证.
随便取几个点,比如x=-1,x=1,x=2 这三个点正好把刚才斜率为零的两个点分隔开的区间给代表了.
x=-1时,y'=7,原函数是往上走的,正斜率
x=1时,y'=-1,原函数是往下走的,负斜率
x=2时,y'=4,原函数又是往上走的,正斜率
这个时候,原函数的大致走向你就能画出来了.
说明x=0还有x=4/3都是拐点,因为方向“拐”了嘛
其中,(-无穷,4/3]这个区间呢,算是一个凹区间.
而[0,+无穷)就算是一个凸区间了.