已知某几何体的直观图和三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．（Ⅰ）若M为CB中点，证明：MA∥平面CNB1；（Ⅱ）求这个几何体的体积．

Question

已知某几何体的直观图和三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．

（Ⅰ）若M为CB中点，证明：MA∥平面CNB₁；
（Ⅱ）求这个几何体的体积．

Answer 1

（Ⅰ）证明：取CB₁的中点P，连MP，∵已知M为CB中点，∴MP∥BB₁且MP=(1)/(2)BB₁
由三视图可知，四边形ABB₁N为直角梯形，∴AN∥BB₁且AN=(1)/(2)BB₁（2分）
∴MP∥AN且MP=AN，∴四边形ANPM为平行四边形，∴AM∥NP，（4分）
又AM⊄平面CNB₁，PN⊂平面CNB₁，∴AM∥平面CNB₁（6分）
（Ⅱ）∵该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，
∴BA，BC，BB₁两两垂直．
∴BC⊥BA，BC⊥B₁B且BB₁与BA相交于B，
∴BC⊥平面AB₁BN，BC为三棱锥C-ABN的高（8分）
取B₁B的中点Q，连QN，∵四边形ABB₁N为直角梯形且AN=(1)/(2)BB₁=4，
四边形ABQN为正方形，NQ⊥BB₁，又BC⊥平面ABB₁N，∵QN⊂平面ABB₁N∴BC⊥NQ，且BC与BB₁相交于B，∴NQ⊥平面C₁B₁BC，NQ为四棱锥N-CBB₁C₁的高（10分）
∴几何体ABC-NB₁C₁的体积V＝VC−ABN+VN−CBB1C1＝(1)/(3)CB•S△ABN+(1)/(3)NQ•SBCC1B1
=(1)/(3)×4×(1)/(2)×4×4+(1)/(3)×4×4×8=(160)/(3)（12分）