线性代数问题已知A是3阶矩阵,且所有元素都是-1,则A^4+2A^3=它给的提示是：秩r（A）=1,有A^2=LA,其中L=（A的迹）=-3.给了提示我就会做了,但是我不明白秩等于1为什么有A^2=LA的结论,还我猜测

Question

线性代数问题
已知A是3阶矩阵,且所有元素都是-1,则A^4 +2A^3 =
它给的提示是：秩r（A）=1,有A^2=LA,其中L= （A的迹） = -3.给了提示我就会做了,但是我不明白秩等于1为什么有A^2 =LA的结论,还我猜测秩等于1矩阵就只有一个非零特征值,其余都为零,是不是这样?还有如果是秩等于1的4或5阶矩阵有没有相似的结论?不要告诉我用特征值求出P和P^-1再求n次方,应该是有什么简单的推导,把推导帮我写出来,回答的满意我就再追加50分!

Answer 1

n阶秩1矩阵至多有1个非零特征值,当然也可以是所有的特征值都是0,其中一个0特征值是亏损的.
至于n阶秩1矩阵的k次方的推导,其实很简单,如果rank(A)=1,必定存在n维非零列向量x,y使得A=xy',于是A^k=xy'xy'...xy',利用结合律把中间的(y'x)^(k-1)拿出来就可以了,再利用tr(xy')=tr(y'x)即得
A^k=tr(A)^(k-1)A.