已知二次型f（x1，x2，x3）=5x12+5x22+cx32-2x1x2+6x1x3-6x2x3的秩为2，求参数c及二次型经正交变换化成的标准形（不必写出正交变换）．

Question

已知二次型f（x₁，x₂，x₃）=5x₁²+5x₂²+cx₃²-2x₁x₂+6x₁x₃-6x₂x₃的秩为2，求参数c及二次型经正交变换化成的标准形（不必写出正交变换）．

Answer 1

此二次型对应的矩阵为
A=

5	-1	3
-1	5	-3
3	-3	c

，
又因为秩（A）=2，故

.

A

.

=24（c-3）=0，
解得c=3．
这时，

.

λE-A

.

=

.

λ-5	1	-3
1	λ-5	3
-3	3	λ-3

.

=λ（λ-4）（λ-9）．
所以特征值为λ₁=9，λ₂=4，λ₃=0
其标准型为f=9y12+4y22．