3元非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为2，已知α1，α2，α3是它的3个解向量，其中α1=（1，1，1）T，α2+α3=（2，4，6）T，则该方程组的通解是．

Question

3元非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为2，已知α₁，α₂，α₃是它的3个解向量，其中α₁=（1，1，1）^T，α₂+α₃=（2，4，6）^T，则该方程组的通解是______．

Answer 1

因为α₁，α₂，α₃是Ax=b的3个解向量，且A的秩为2，所以Ax=0的基础解系中解的个数为3-2=1．
利用线性方程组解的性质可得，
A（（α₂+α₃）-2α₁）=Aα₂+Aα₃-2Aα₁=b+b-2b=0，
故（α₂+α₃）-2α₁=（0，2，4）^T为Ax=0的一个通解．
利用非齐次线性方程组的通解公式可得，
Ax=b的通解为：（1，1，1）^T+k（0，2，4）^T，其中k为任意常数．
故答案为：（1，1，1）^T+k（0，2，4）^T，k为任意常数．