y''+y'=x^2通解求下列微分方程满足所给初始条件的特解y''+2y'+y=cosx,y|x=0=0,y'|x=0=3/2

Question

y''+y'=x^2通解 求下列微分方程满足所给初始条件的特解 y''+2y'+y=cosx,y|x=0 =0,y'|x=0 =3/2

Answer 1

1
y''+y'=x^2
y''+y'=0
特征方程
r^2+r=0
r=0,r=-1
y=C1e^(-x)+C2
设y''+y'=x^2有特解y=ax^3+bx^2+cx
y'=3ax^2+2bx+c
y''=6ax+2b
6ax+2b+3ax^2+2bx+c=x^2
3a=1,2b+6a=0 2b+c=0
a=1/3,b=-1,c=2
特解 y=(1/3)x^3-x^2+2x
y''+y'=x^2通解 y=(1/3)x^2-x^2+2x+C1e^(-x)+C2
2
y''+2y'+y=cosx
y''+2y'+y=0
特征方程r^2+2r+1=0
r=-1
y=C1e^(-x)+Cxe^(-x)
设y''+2y'+y=cosx特解 y=mcosx+nsinx
y'= -msinx+ncosx
y''= -mcosx -nsinx
-mcosx-nsinx-2msinx+2ncosx+mcosx+nsinx=cosx
(-m+2n+m)=1 (-n-2m+n)=0
m=0,n=1/2
y=(1/2)sinx
通解y=C1e^(-x)+Cxe^(-x)+(1/2)sinx
x=0,y=0 C1=0
y'=-C1e^(-x)+Ce^(-x)+Cxe^x+(1/2)cosx x=0,y'=-C1+C+(1/2)=3/2 C=1
特解 y=xe^(-x)+(1/2)sinx