用幂级数法或广义幂级数法求如下方程的一个非平凡特解1、y''+xy'+y=02、xy''-(x+1)y'+y=0

Question

用幂级数法或广义幂级数法求如下方程的一个非平凡特解
1、 y''+xy'+y=0
2、xy''-(x+1)y'+y=0

Answer 1

1. 设y=a0+a1x+a2x^2+...+anx^n+...
则y'=a1+2a2x+3a3x^2+...+nanx^(n-1)+...
xy'=a1x+2a2x^2+3a3x^3+...+nanx^n+...
y"=2a2+6a3x+12a4x^2+...+n(n-1)anx^(n-2)+...
代入原方程得：
(a0+2a2)+(2a1+6a3)x+(3a2+12a4)x^2+.+[(n+1)an+(n+2)(n+1)a(n+2)]x^n+...
因此得：(n+1)an+(n+2)(n+1)a(n+2)=0
即an+(n+2)a(n+2)=0
得; a(n+2)=-an/(n+2)
即an=-a(n-2)/n
故a(2k)=-a(2k-2)/(2k)=a(2k-4)/(2k)(2k-2)=.=(-1)^k*a0/(2k)!
a(2k+1)=(-1)^k*a1/(2k+1)!
这里m!=m(m-2)(m-4).
2.
设y=a0+a1x+a2x^2+...+anx^n+...
则y'=a1+2a2x+3a3x^2+...+nanx^(n-1)+...
(x+1)y'=a1+(a1+2a2)x+(2a2+3a3)x^2+(3a3+4a4)x^3+...+[nan+(n+1)a(n+1)]x^n+...
y"=2a2+6a3x+12a4x^2+...+n(n-1)anx^(n-2)+...
xy"=2a2x+6a3x^2+12a4x^3+.+n(n-1)anx^(n-1)+...
代入原方程得：
(a0-a1)+(3a3-a2)x^2+.+[(n^2-1)a(n+1)-(n-1)an]x^n+.
所以 (n^2-1)a(n+1)-(n-1)an=0
得：n>=2时,有： (n+1)a(n+1)-an=0
即： a(n+1)=an/(n+1)
得：a(n+1)=an/(n+1)=.=a2/[(n+1)n(n-1)...3]=2a2/(n+1)!
故当n>=3时,有an=2a2/n!
而常数项a0-a1=0,得:a1=a0
因此y=a0+a0x+a2x^2+2a2[x^3/3!+...+..x^n/n!...]