已知圆O：x2+y2=4，过点M（1，2）的两条弦AC，BD互相垂直，则|AC|+|BD|的最大值为．

Question

已知圆O：x²+y²=4，过点M（1，√(2)）的两条弦AC，BD互相垂直，则|AC|+|BD|的最大值为______．

Answer 1

过O作ON⊥AC于N，作OP⊥BD于P，连结OM
则矩形OPMN中，|OM|²=|OP|²+|ON|²=1²+（√(2)）²=3
根据垂径定理，得
|AC|²=（2AN）²=4（R²-|ON|²）=4（4-|ON|²）
|BD|²=（2BP）²=4（R²-|OP|²）=4（4-|OP|²）
∴|AC|²+|BD|²=4[8-（|OP|²+|ON|²）]=32-4×3=20
因此，结合基本不等式得（|AC|+|BD|）²≤2（|AC|²+|BD|²）=40
当且仅当|AC|=|BD|=√(10)时，|AC|+|BD|的最大值为2√(10)
故答案为：2√(10)