一道比较难的几何题唉,是道好题,可惜苦苦思考不得其解.如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,I1、I2分别为△ABD、△ACD的内心,直线I1I2分别交AB、AC于点E、F,且AE=AF.求证：∠BAC=90°.不一定非要写出全过程,给

Question

一道比较难的几何题
唉,是道好题,可惜苦苦思考不得其解.
如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,I1、I2分别为△ABD、△ACD的内心,直线I1I2分别交AB、AC于点E、F,且AE=AF.
求证：∠BAC=90°.
不一定非要写出全过程,给我点点拨也好~
没到二级,图我传不上来啊,不好意思.但是大概能想象出来吧?A是所求证的直角三角形的直角顶点,BC是斜边,点B在左侧,C在右侧.

Answer 1

设EF与AD交点为G,△ABD、△ACD的内心半径分别为r1和r2,∠BAD为∠1,∠CAD为∠2；
S△AGE=(AE*AGsin∠1)/2=r1*(AE+AG)/2,S△AGF=(AF*AGsin∠2)/2=r2*(AF+AG)/2,以上两式相除得：(AEsin∠1)/(AFsin∠2)=[r1*(AE+AG)]/[r2*(AF+AG)],∵AE=AF,∴sin∠1/sin∠2=r1/r2┄┄┄①；S△ABD=r1(AB+BD+AD)/2=(AB*ADsin∠1)/2,S△ACD=r2(AC+DC+AD)/2=AC*ADsin∠2,以上两式相除得：[r1(AB+BD+AD)]/[r2(AC+DC+AD)]=ABsin∠1/ACsin∠2┄┄┄②；将①式代入②式得：[r1(AB+BD+AD)]/[r2(AC+DC+AD)]=ABr1/ACr2,
(AB+BD+AD)/(AC+DC+AD)=AB/AC,(BD+AD)/(DC+AD)=AB/AC,上式两边平方得：[BD²+AD²+2BD*AD]/[DC²+AD²+2AD*DC]=AB²/AC²,∵AB²=BD²+AD²,AC²=DC²+AD²,∴上式整理为：2BD*AD/2AD*DC=AB²/AC²,BD/DC=AB²/AC²,(BD/AB)/(DC/AC)=AB/AC,∵sin∠1=BD/AB,sin∠2=DC/AC,∴上式整理为：sin∠1/sin∠2=AB/AC┄┄┄③；cos∠1=AD/AB,cos∠2=AD/AC,cos∠1/cos∠2=AC/AB┄┄┄④；将③式乘以④式得：(sin∠1cos∠1)/(sin∠2cos∠2)=1,sin2∠1=sin2∠2,则∠1=∠2或2∠1=π-2∠2,∠1+∠2=π/2；综上当△ABC不为等腰△,即∠B≠∠C时,∠BAC=90°.