微分方程--切线求满足方程y''+4y'+4y=0的曲线y=y（x）,使该曲线在点P（2,4）处与直线y=x+2相切为什么y（4）=2，y'（4）=1？

Question

微分方程--切线
求满足方程y''+4y'+4y=0的曲线y=y（x）,使该曲线在点P（2,4）处与直线y=x+2相切
为什么y（4）=2，y'（4）=1？

Answer 1

解微分方程：
设y=exp(kx)
则 (k^2)exp(kx)+4kexp(kx)+4exp(kx)=0
k^2+4k+4=0
(k+2)^2=0
得k=-2,y=exp(-2x)
因为刚好是完全平方,所以还有一解y=x*exp(-2x)
故通解为 y=C1*exp(-2x)+C2*x*exp(-2x)
因点P（2,4）在曲线上,故y(2)=4
因曲线在点P（2,4）的斜率等于直线y=x+2的斜率,故y'(2)=1
y=C1*exp(-2x)+C2*x*exp(-2x)
y'
=-2C1*exp(-2x)+C2*exp(-2x)-2C2*x*exp(-2x)
=-2y+C2*exp(-2x)
代入y(2)=4,y'(2)=1,得
C1*exp(-4)+2C2*exp(-4)=4
-2*4+C2*exp(-4)=1
故 C1=-14exp(4),C2=9exp(4)
y(x)=C1*exp(-2x)+C2*x*exp(-2x)
y(x)=(9x-14)exp(-2x+4)